В частности, можно доказать, решить проблему, то есть привести доказательство, что эта проблема имеет положительное решение или отрицательное решение. Но можно задать и более хитрый вопрос. А может быть, нет доказательства ни того, ни другого? Но для того чтобы математически ответить на такой вопрос, нужно знать, что такое доказательство. И когда математическая логика предложила точное определение этому понятию, то получились результаты, которые до сих пор будоражат умы человеческие, а именно, что можно доказать, что нет доказательства того или иного утверждения. Многие люди слышали о теореме Гёделя о неполноте, многие философы рассуждают на эту тему, ну и люди, иногда далёкие от математики и философии, что-то об этом слышали, и много бывает интерпретаций, я тут не хочу анализировать все точки зрения, какие могут быть…

Существует парадоксальное утверждение в теореме Гёделя, утверждение о том, что нечто нельзя доказать. Но я бы, может быть, сделал некоторый короткий экскурс в историю: интерес к формулировке доказательства имеет не только парадоксально-философский, но и чисто позитивный смысл. Я уже говорил, что математика стремится ко всё более точному изложению своего собственного предмета, и одно из достижений ещё древних греков было создание аксиоматического метода. Суть изложения геометрии по Евклиду (оно было отражено и в учебниках Киселёва) состоит в том, что геометрические истины начинаются с формулировок аксиом, а все остальные утверждения, леммы, теоремы, они вытекают из аксиом. Это было на самом деле интеллектуальным открытием.

Я должен сказать, что появление аксиоматического метода произвело сильное впечатление на другие науки. И философы, биологи, физики, тоже попытались изложить так свои системы. Вот Спиноза свои сочинения излагал в виде такого аксиоматического, систематического изложения. Но как показало дальнейшее развитие, там было два ну не то что бы изъяна, а две вещи, которые надлежало более серьёзно проанализировать и уточнить. Одно из них состояло в следующем. Вот есть аксиомы, все остальные истины должны получаться из них или доказываться из этих аксиом. А что такое доказательство? Если оно точно не сформулировано, то здесь остаётся элемент неопределённости. Как говорится, по согласию внутри математического сообщества кое-какие тексты принимались за доказательства, а другие не принимались. То есть математики осознавали, что такое доказательство, хотя иногда возникали и споры, но, тем не менее, этот элемент требовал уточнения.

И вот точная формулировка доказательства составляла, так сказать, следующий уровень точности для аксиоматического метода. И вторая вещь – это язык. Дело в том, что обыденный язык, он не просто двусмыслен, он многосмыслен. Я обычно на лекциях привожу в пример слово «радикал». Есть радикальные партии, есть свободные радикалы в химии и есть, как говорится, радикалы – корень квадратный, который в школе учат. Но если говорить о контекстах, то там многозначность языка становится бесконечной. Но без этого поэзия была бы невозможна, если бы язык, на котором мы разговаривали, имел только один смысл. Но для математики, для науки, стремящейся к точности, это достоинство естественного языка является недостатком. Поэтому другая вещь, которая была нужна, – это создание достаточно богатых формальных языков.

Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка – различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы – это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.

Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, – это позволило им предвидеть, что компьютер – это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.

Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.

Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.

Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались – так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.